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Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Introduction 11 1 Espaces projectifs, généralités 17 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1 L'espace projectif . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 Sous-variétés projectives . . . . . . . . . . . 22 1.1.3 Indépendance projective . . . . . . . . . . . 24 1.1.4 Repères projectifs . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1.5 Coordonnées homogènes . . . . . . . . . . . 28 1.2 De l'affine au projectif, et retour . . . . . . . . . . 31 1.2.1 Une droite plus un point . . . . . . . . . . . 31 1.2.2 Un plan plus une droite . . . . . . . . . . . 32 1.2.3 Équations homogènes de droites . . . . . . 35 1.2.4 Des coïncidences qui n'en sont pas . . . . . 37 1.2.5 Jouer avec les équations de droites . . . . . 39 1.2.6 Autres équations homogènes . . . . . . . . . 41 1.2.7 Homographies, définition . . . . . . . . . . 42 1.3 Visions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.3.1 Le Plan projectif, la sphère, et la bande de Moebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.4 Questions de fond (1) . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.4.1 Un point de vue élevé . . . . . . . . . . . . 54 1.5 Birapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.5.1 Le birapport en géométrie projective . . . . 59 1.5.2 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.6 Questions de fond (2) . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.6.1 Des horizons comme s'il en pleuvait . . . . 71 1.7 Questions de fond (3) . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.8 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.8.1 Dualité vectorielle . . . . . . . . . . . . . . 76 1.8.2 // Transposition // . . . . . . . . . . . . . 78 1.8.3 Dualité projective . . . . . . . . . . . . . . 81 1.8.4 Doubles définitions, doubles points de vue . 83 1.9 Polaires, polarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2 Homographies 93 2.1 Homographies d'une droite projective . . . . . . . 93 2.1.1 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.1.2 Birapport d'une homographie hyperbolique 97 2.1.3 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.2 Optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.3 Homographies entre deux droites . . . . . . . . . . 106 2.3.1 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.3.2 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.3.3 Birapport d'un faisceau de droites . . . . . 109 2.3.4 Birapport sur un cercle . . . . . . . . . . . 111 2.3.5 Caractérisation des projections . . . . . . . 112 2.3.6 Axe d'une homographie . . . . . . . . . . . 113 2.3.7 L'affaire Pappus . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.3.8 L'affaire Desargues . . . . . . . . . . . . . . 126 2.3.9 Triangles doublement perspectifs . . . . . . 135 2.3.10 Le second théorème de Desargues . . . . . . 137 2.4 Homographies du plan projectif . . . . . . . . . . . 140 2.4.1 Stabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.4.2 // La recherche des éléments stables // . . 143 2.4.3 Étude des homologies . . . . . . . . . . . . 145 2.4.4 Dans une carte affine . . . . . . . . . . . . . 154 3 Faisceaux de droites 159 3.0.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4 Les coniques 163 4.1 Les coniques au Collège . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.1.1 Le cône et les plans . . . . . . . . . . . . . 165 4.1.2 Le cône, et ce qu'il contient ! . . . . . . . . 166 4.1.3 Les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.2 Coniques projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.2.1 Formes linéaires, bilinéaires, quadratiques . 171 4.2.2 Équations des coniques projectives . . . . . 173 4.2.3 Forme polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.2.4 Intersection d'une droite avec une conique . 177 4.2.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.3 Faisceaux et coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.3.1 Le théorème de Pascal 4.3.8. . . . . . . . . 195 4.3.2 Construire une conique point par point . . 199 4.4 Questions de fond (4) . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5 Annexe 1 : l'infographie 205 5.0.1 Reconstituer une image 3D . . . . . . . . . 206 6 Annexe 2 : Préparation 211 6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.1.1 Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.1.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1.4 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 6.2 Groupe, Anneau, Corps . . . . . . . . . . . . . . . . 219 6.3 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.3.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.3.2 Applications linéaires, formes linéaires . . . 239 6.3.3 Vecteurs propres, valeurs propres . . . . . . 242 6.3.4 // Matrices for beginners // . . . . . . . . . 243 6.3.5 Principales applications linéaires . . . . . . 247 6.3.6 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 6.4 Espace Affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 6.4.1 Affine et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.4.2 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . 258 6.5 // Quelques mots de Topologie // . . . . . . . . 260 Conclusion 265 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

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