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Avant-propos 3 Partie A : notes de cours 11 1 Paramétrage et liaisons 13 1.1 Paramétrage d'un système matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1 Cas d'un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 Cas d'un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.3 Cas d'un système matériel (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.4 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Paramétrage strict-Paramétrage surabondant . . . . . . . . 19 1.2.2 Liaisons holonome, non holonome et semi-holonome . . . . . 21 1.2.3 Liaison bilatérale-Liaison unilatérale . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.4 Liaison indépendante du temps-Liaison dépendante du temps 25 1.2.5 Liaison principale-Liaison complémentaire . . . . . . . . . . 25 1.2.6 Nombre de degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Vitesses réelles et vitesses virtuelles 37 2.1 Champ de vitesses réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Champ de vitesses virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2 Expression du CVV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 Champ de vitesses virtuelles compatible avec une liaison . . . . . . 44 2.3.1 Système matériel (S) soumis à une liaison holonome . . . . . 45 2.3.2 Système matériel (S) soumis à une liaison non holonome . . 50 2.4 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Principes des puissances virtuelles 63 3.1 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.1 Schématisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.2 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Puissance virtuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.2 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3 Calcul pratique de la puissance virtuelle d'un système . . . . . . . . 70 3.3.1 Puissance virtuelle d'un point matériel . . . . . . . . . . . . 71 3.3.2 Puissance virtuelle d'un solide indéformable . . . . . . . . . 71 3.3.3 Puissance virtuelle d'un système matériel . . . . . . . . . . . 72 3.4 Fonction de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.2 Additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.3 Fonction de force associée à la pesanteur . . . . . . . . . . . 73 3.4.4 Fonction de force associée à un ressort élastique . . . . . . . 74 3.5 Systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.6 Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6.2 Axiome d'objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.6.3 Intérêt de la méthode des puissances virtuelles . . . . . . . . 79 3.7 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4 Équations de Lagrange 93 4.1 Mouvements virtuels pour l'étude des systèmes de solides . . . . . . 95 4.1.1 Mouvement virtuel rigidifiant par morceaux . . . . . . . . . 95 4.1.2 Mouvement virtuel compatible avec les liaisons . . . . . . . . 98 4.1.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.1 Puissance virtuelle des quantités d'accélération . . . . . . . . 100 4.2.2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs et intérieurs . . . . 102 4.2.3 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5 Intégrales premières du mouvement 129 5.1 Intégrales premières linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.1 Intégrale première cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.2 Intégrale première de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.2 Énergie cinétique paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.3 Théorème d'Euler relatif aux fonctions homogènes . . . . . . . . . . 138 5.3.1 Fonction homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3.2 Théorème d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4 Lemme de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.5 Intégrales premières quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.5.1 Intégrales premières de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.5.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.5.3 Intégrale première de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . 152 5.6 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.6 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6 Équilibre et stabilité 165 6.1 Équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.1.2 Équilibre pour un seul paramètre . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.1.3 Équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.1.4 Équilibre strict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.2 Détermination des équilibres paramétriques . . . . . . . . . . . . . . 168 6.2.1 Cas général : utilisation explicite des équations de mouvement du système . . . . .. . . 168 6.2.2 Cas particulier : écriture directe des équations d'équilibre . . 170 6.3 Stabilité d'un équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.3.1 Stabilité au sens de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.3.2 Théorème de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.3.3 Étude pratique de l'équilibre et de la stabilité lorsqu'il y a une fonction de force . . .. . . . 179 6.4 Linéarisation des équations de Lagrange autour d'une position d'équilibre. . . . . . . 187 6.4.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.4.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.4.3 Stabilité de l'équilibre autour de qe : théorème de Liapunov . 188 6.5 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Partie B : recueils d'examens corrigés 201 Recueil d'examens 1 : pour commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Épreuve 1 : système composé d'une tige soudée à une demi-sphère . . . 203 Épreuve 2 : stabilité d'un cerceau autour d'une nutation uniforme . . . . 208 Épreuve 3 : étude d'un système pendulaire complexe . . . . . . . . . . 215 Épreuve 4 : mouvement d'une sphère pleine sur un plan fixe . . . . . . . 225 Épreuve 5 : disque roulant sans glissement sur un plan incliné . . . . . . 233 Recueil d'examens 2 : pour s'exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Épreuve 1 : système composé d'un disque, d'une tige et d'un anneau . . 243 Épreuve 2 : système composé d'un disque et d'une tige . . . . . . . . . 248 Épreuve 3 : disque roulant sur une barre en rotation . . . . . . . . . . . 257 Épreuve 4 : mouvement d'une sphère sur une tige en rotation . . . . . . 266 Épreuve 5 : mouvement d'un ellipsoïde sur un plan lisse . . . . . . . . . 274 Recueil d'examens 3 : pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Épreuve 1 : glissement sans frottement d'une plaque triangulaire . . . . 284 Épreuve 2 : mouvement d'un culbuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Épreuve 3 : étude d'une barre assujettie à deux rotations planes . . . . . 310 Épreuve 4 : étude d'un essieu muni de deux roues identiques . . . . . . 323 Épreuve 5 : mouvement d'un culbuto sur un plan tournant . . . . . . . 335 Bibliographie 353 Index alphabétique 361

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