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Table des matières 1 Intégrales de contour ou curvilignes dans le plan . . . . . . . . . . 1 1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Champs de vecteurs du plan et intégrales de contour . . . . . . . 4 1.3 Propriétés des champs de gradient . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Courbure du champ de vecteurs. Identité de Green-Riemann . . . 7 1.5 Condition de courbure nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Champs de vecteurs différentiables et condition de courbure nulle . . 12 1.7 Particule dans un champ magnétique et identité de Green-Riemann 15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Intégrales complexes. Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . 21 2.1 Intégrale de contour complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Fonctions entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Représentation de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Théorème de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.6 Formule de la moyenne. Théorème du module maximum . . . . . 32 2.7 Fonctions entières bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.8 Illustration en physique : fluides bidimensionnels . . . . . . . . . 35 3 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Représentation de Cauchy et série de Taylor . . . . . . . . . . . 38 3.3 Séries de Taylor et analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 Quelques conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4 Singularités isolées. Formule des résidus . . . . . . . . . . . . . 45 4.1 Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Formule des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Inversion et sphère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.4 Théorème de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5 Singularités essentielles isolées . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.6 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5 Singularités algébriques. Transformations conformes . . . . . . . . 55 5.1 Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 La fonction za . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3 Formule de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.4 Transformations conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.5 Conditions de Cauchy et électrostatique bidimensionnelle . . . . . 61 6 Sujets divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.1 La fonction G(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2 Distributions gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7 Séries asymptotiques. Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . 77 7.1 Fonctions analytiques bornées dans un secteur . . . . . . . . . . 77 7.2 Séries asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.3 Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.4 Comportement aux grands ordres . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.5 Transformation de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8 Approximants de Padé : définition et propriétés . . . . . . . . . . 89 8.1 Propriétés de transformation : cas général . . . . . . . . . . . . 90 8.2 Approximants de Padé diagonaux . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.3 Autres relations entre approximants . . . . . . . . . . . . . . 92 8.4 Convergence en mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9 Fractions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 9.1 Définition et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . 95 9.2 Fonctions : développement en fractions continues . . . . . . . . . 98 9.3 Equations de Riccati et fractions continues . . . . . . . . . . . 99 9.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10 Approximants de Padé et fractions continues . . . . . . . . . . 107 10.1 Approximants de Padé et fractions continues . . . . . . . . . 107 10.2 Numérateurs et dénominateurs des approximants de Padé . . . 108 10.3 Approximants de Padé diagonaux . . . . . . . . . . . . . . 110 10.4 Fonctions et inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.5 Approximants de Padé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.6 Identité de Wynn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.7 Approximants de Padé multi-points . . . . . . . . . . . . . 117 10.8 Séries à coefficients matriciels . . . . . . . . . . . . . . . . 119 11 Propriétés de Herglotz et fonctions de Stieljes . . . . . . . . . 121 11.1 Propriété de Herglotz : définition et conséquences . . . . . . . 121 11.2 Une deuxième propriété de Herglotz . . . . . . . . . . . . . 123 11.3 Fonctions de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.4 Polynômes orthogonaux et quadrature gaussienne . . . . . . . 129 11.5 Approximants de Padé multi-points . . . . . . . . . . . . . 132 11.6 Matrices de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 12 Méthodes d'accélération de convergence . . . . . . . . . . . . 139 12.1 Intégration et formule d'Euler-MacLaurin . . . . . . . . . . 139 12.2 Extrapolation de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 12.3 Approximants à trois points et racines complexes d'équations . . 150 13 Spectre d'opérateurs différentiels. Exemples . . . . . . . . . . 153 13.1 Equation de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 13.2 Equations de champ : solutions de type instanton . . . . . . . 155 14 Séries divergentes et sommation . . . . . . . . . . . . . . . . 157 14.1 Séries asymptotiques dans un secteur . . . . . . . . . . . . 157 14.2 Sommation de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 14.3 Application au calcul des exposants critiques . . . . . . . . . 161 14.4 Méthode ODM de sommation de séries . . . . . . . . . . . . 163 Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A1 Quelques autres résultats mathématiques . . . . . . . . . . . 167 A1.1 Lemme de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A1.2 Théorème de Carlson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A1.3 Principe de Phragmén-Lindelof pour un secteur angulaire . . . 168 A2 Fractions continues et approximations de Padé . . . . . . . . . 169 A2.1 Fractions continues et approximations de Padé . . . . . . . . 169 A2.2 Les polynômes Tp(s) : relations de récurrence . . . . . . . . 170 A2.3 Troncation et sommation : démonstration alternative . . . . . 172 A2.4 Identité de Wynn : vérification . . . . . . . . . . . . . . . 174 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

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