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Table des matières Avant-propos 1 Partie A : notes de cours 7 1 Centre d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Système continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Système discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Propriété de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Théorèmes de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Applications pédagogiques supplémentaires . . . . . . . . . . . . 23 2 Moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe . . . . . . . . . . . . 28 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Signification physique du moment d'inertie . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Calcul de I(S/?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Signification physique des produits d'inertie . . . . . . . . . . . . 31 3 Matrice d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 Opérateur d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Matrice d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Expression du moment d'inertie en fonction de la matrice d'inertie 37 3.4 Base principale d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 Quadrique d'inertie-Ellipsoïde d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1 Quadrique d'inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 Ellipsoïde d'inertie : interprétation géométrique de la matrice d'inertie . . .. . . . . . . . . . . . 53 5 Matrice d'inertie d'un système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Partie B : problèmes corrigés 63 Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Problème 1 : demi-cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Problème 2 : quart de cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Problème 3 : deux barres perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Problème 4 : plaque ayant la forme d'un disque . . . . . . . . . . . . . . . 73 Problème 5 : plaque rectangulaire mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Problème 6 : plaque ayant la forme d'un demi-disque . . . . . . . . . . . 79 Problème 7 : plaque ayant la forme d'un quart de disque . . . . . . . . . 82 Problème 8 : plaque ayant la forme d'un quart d'ellipse . . . . . . . . . . 87 Planche 2 : problèmes pour s'exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Problème 1 : huitième de sphère pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Problème 2 : ellipsoïde plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Problème 3 : plaque ayant la forme d'un triangle équilatéral . . . . . . . . 97 Problème 4 : calotte sphérique creuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Problème 5 : plaque ayant la forme d'un triangle rectangle . . . . . . . . 103 Problème 6 : demi-sphère pleine (demi-boule) . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Problème 7 : calotte parabolique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Problème 8 : cône homogène plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Problème 1 : demi-cylindre plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Problème 2 : demi-cône plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Problème 3 : système composé d'un cylindre plein et d'une demi-boule . . 127 Problème 4 : système composé d'un cône plein et d'une demi-boule . . . . 132 Problème 5 : calotte sphérique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Problème 6 : système composé d'une calotte sphérique et d'un cylindre . 145 Problème 7 : tore creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Problème 8 : tore plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Annexes 159 Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Annexe 3 : diagrammes synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Table des matières 5 Bibliographie 183 Index alphabétique 191

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