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Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1. Un peu d'histoire et un peu de physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Bernoulli, Euler, Navier, Poisson, Stokes & Cie. . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Rapide déduction physique des équations de Navier-Stokes. . . 4 2. Les outils de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Quelques définitions et identités vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5. Quelques résultats utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3. Solutions classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1. Équation de la chaleur et équation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Décomposition de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3. Problème de Stokes et tenseur d'Oseen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4. Solutions classiques des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 74 3.5. Formulation différentielle et formulation intégrale. . . . . . . . . . . . 89 3.6. Propriétés de décroissance spatiale des solutions classiques . . . 93 3.7. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.8. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4. Solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1. Principe de contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.2. Solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.3. Formulation intégrale et solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.4. Un théorème d'existence de solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.5. Démonstration du théorème 4.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.6. Bilan des estimations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.7. Formulation différentielle et formulation intégrale : équivalence 152 4.8. Temps d'existence des solutions et critères d'explosion . . . . . . . 160 4.9. Espaces fonctionnels et homogénéité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.10. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.11. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5. Solutions mild de type Fourier-Herz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2. Définitions et propriétés des espaces de Fourier-Herz. . . . . . . . . 184 5.3. Solutions mild dans l'espace L2t F0;1H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.4. Solutions mild dans l'espace L1t F2;1H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6. Solutions faibles de Leray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.1. Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.2. Théorème principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.3. Inégalité forte d'énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.4. Unicité fort-faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.5. Le cas de la dimension n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 6.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 6.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7. Le alpha-modèle de H. Beirão da Veiga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.1. Une variante du théorème de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 7.2. Le modèle d'hyperviscosité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.3. Étude du problème régularisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.4. Inégalité d'énergie et solutions régularisées globales . . . . . . . . . 284 7.5. Passage à la limite et solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 8. Explosion pour une équation simplifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.2. Un modèle d'étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 8.3. Construction de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 8.4. Explosion en temps fini pour le modèle simplifié. . . . . . . . . . . . . 302 8.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 8.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 9. Solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 9.1. Solutions H1 pour le problème stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 9.2. Quelques théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 9.3. Existence de solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 9.4. Problème de type Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 9.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 9.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 10. Régularité locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 10.1. Résultats de régularité associés à l'équation de la chaleur . . . 340 10.2. Localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 10.3. Critère de régularité locale de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 10.4. Le contre-exemple de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 10.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

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