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Préface 1 Rappels et compléments 1 1.1 Éléments de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Dérivée et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Intégrale de Riemann 7 2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Complément : intégrations des fonctions de deux variables . . . 25 3 Séries numériques 31 3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 Produit de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Intégrales généralisées 55 4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3 Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5 Suites et séries de fonctions 75 5.1 Les différentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Les critères de Cauchy et d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Continuité des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.4 Théorème de la double limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.5 Intégration des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.6 Dérivée de la limite d'une suite de fonctions . . . . . . . . . . . 84 5.7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6 Fonctions définies par des intégrales 97 6.1 Fonctions définies par des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2 Fonctions définies par des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.3 Critères de convergence uniforme des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4 Suites définies par des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.6 Complément : intégration des fonctions définies par des intégrales généralisées .. . . . 124 7 Séries entières 127 7.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.2 Dérivation terme à terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.3 Un exemple de calcul de coefficients par la méthode de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.4 Un théorème d'Abel radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8 Séries de Fourier 147 8.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.2 Théorème de Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.3 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.4 Autres résultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.5 Identité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9 Transformée de Fourier 177 9.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.2 Formule d'inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 9.3 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 A Développements limités 195 A.1 Généralités sur les développements limités . . . . . . . . . . . . 195 A.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . 201 Index 207

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