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Sommaire Table des matières Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii I Transformations de symétrie 1 A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6 C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27 AI Points de vue d'Euler et de Lagrange en mécanique classique 33 1 Point de vue d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 BI Théorème de Noether pour un champ classique 41 1 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Transformations de symétrie et conservation d'un courant . . 43 3 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Conservation locale de l'énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45 II Notions sur la théorie des groupes 47 A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48 B Représentations linéaires d'un groupe . . . . . . . . . . . . . 58 AII Classes résiduelles d'un sous-groupe ; groupe quotient 67 1 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71 A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101 AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 111 1 Représentation adjointe à l'algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 111 2 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 115 4 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 IV Représentations induites dans l'espace des états 119 A Conditions imposées aux transformations dans l'espace des états121 B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128 D Représentations linéaires dans l'espace des états . . . . . . . . 130 E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135 AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 143 1 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 151 1 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 159 A Représentations dans l'espace des états . . . . . . . . . . . . . 160 B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 195 1 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 2 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 202 3 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 209 1 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 2 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 211 3 Sous-espace propre d'énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 CV Groupe des déplacements géométriques 217 1 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 218 2 Opérateurs associés dans l'espace des états . . . . . . . . . . 227 DV Réflexions d'espace (parité) 237 1 Action dans l'espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 2 Opérateur associé dans l'espace des états . . . . . . . . . . . 239 3 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 VI Construction d'espaces des états et d'équations d'onde 245 A Groupe de Galilée, équation de Schrodinger . . . . . . . . . . 246 B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259 AVI Invariance relativiste de l'équation de Dirac et limite non relativiste 277 1 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2 Limite non relativiste de l'équation de Dirac . . . . . . . . . . 280 BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états de Dirac 285 1 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 2 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 3 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291 CVI Lagrangiens et relations de conservation des équations d'onde 299 1 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 2 Equation de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 3 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 4 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 VII Groupe des rotations, moments cinétiques, spineurs 311 A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312 B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338 AVII Rotations d'un spin 1/2 et matrices de SU(2) 347 1 Modification de la polarisation d'un spin 1/2 induite par une matrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 2 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 349 3 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 4 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 352 5 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354 BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 355 1 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 355 2 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 VIII Transformation des observables par rotation 363 A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366 B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 405 1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 2 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 4 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 5 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 411 6 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 7 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 417 1 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 417 2 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419 CVIII Les moments multipolaires 423 1 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 424 2 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 437 3 Moments multipolaires d'un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442 DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels irréductibles 447 1 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 2 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 3 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 4 Invariance par rotation dans l'évolution d'un système physique 453 IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457 A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459 B Groupe SU(2) et symétrie d'isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475 C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 AIX La nature d'une particule est équivalente à un nombre quantique interne 507 1 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d'un vecteur d'état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 2 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 509 3 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 BIX Opérateurs changeant la symétrie d'un vecteur d'état par permutation 513 1 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 2 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 X Brisures de symétrie 517 A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518 B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 APPENDICE 533 Renversement du temps 533 1 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 534 2 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 3 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 547 4 Forme explicite de l'opérateur de renversement du temps . . . 555 5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 Bibliographie 569

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